Question

已知，如图，以△ABC的一边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于D、E，下面判断中：①当△ABC为等边三角形时，△ODE是等边三角形；②当△ODE是等边三角形，△ABC为等边三角形；③当∠A＝45°时，△ODE是直角三角形；④当△ODE是直角三角形时，∠A＝45°．正确的结论有（　　）

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

Answer

C

【解析】

①由△ABC为等边三角形，可得∠B=∠C=60°．又由OB=OC=OD=OE，即可证得△OBD，△OEC均为等边三角形，继而证得△ODE是等边三角形；

【解析】
①∵△ABC为等边三角形，

∴∠B＝∠C＝60°．

∵OB＝OC＝OD＝OE，

∴△OBD，△OEC均为等边三角形．

∴∠BOD＝∠COE＝60°．

∴∠DOE＝60°．

∵OD＝OE，

∴△ODE为等边三角形，故①正确；

②当△ODE是等边三角形，∠A=60°，∠C≠60°，△ABC不是等边三角形，故②错误；

③连接CD，，

∵BC是直径，

∴∠BDC＝90°＝∠ADC．

∵∠A＝45°，

∴∠ACD＝45°，

∴∠DOE＝2∠DCE＝90°，

即△ODE是直角三角形，故③正确；

④∵BC是直径，

∴∠BDC＝90°＝∠ADC．

∵∠ECD＝∠DOE＝45°，

∴∠A＝90°﹣∠ACD＝45°，故④正确；

故选：C．