Question

已知：关于x的方程x²+kx+k﹣1＝0

（1）求证：方程一定有两个实数根；

（2）设x₁，x₂是方程的两个实数根，且（x₁+x₂）（x₁﹣x₂）＝0，求k的值．

Answer

（1）见解析；（2）k的值为0或2．

【解析】

（1）先计算出△=k2-4（k-1）=k2-4k+4=（k-2）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据△的意义即可得到结论；
（2）由于（x1+x2）（x1-x2）=0，则x1+x2=0或x1-x2=0，当x1+x2=0，根据根与系数的关系得到-k=0，解得k=0；当x1-x2=0，根据△的意义得到△=（k-2）2=0，解得k=2．

（1）证明：△＝k2﹣4（k﹣1）

＝k2﹣4k+4

＝（k﹣2）2，

∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，

∴方程一定有两个实数根；

（2）根据题意得x1+x2＝﹣k，x1•x2＝k﹣1，

∵（x1+x2）（x1﹣x2）＝0，

∴x1+x2＝0或x1﹣x2＝0，

当x1+x2＝0，则﹣k＝0，解得k＝0，

当x1﹣x2＝0，则△＝0，即（k﹣2）2＝0，解得k＝2，

∴k的值为0或2．