Question

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．

（1）求⊙O的半径OD；

（2）求证：AE是⊙O的切线；

（3）求图中两部分阴影面积的和．

Answer

【解析】
（1）∵AB与圆O相切，∴OD⊥AB。

在Rt△BDO中，BD=2， ，

∴OD=3。

（2）连接OE，

∵AE=OD=3，AE∥OD，∴四边形AEOD为平行四边形。

∴AD∥EO。

∵DA⊥AE，∴OE⊥AC。

又∵OE为圆的半径，∴AC为圆O的切线。

（3）∵OD∥AC，∴△DBO∽△ABC。

∴，即。∴AC=。∴EC=AC﹣AE=﹣3=。

又∵易得四边形ADOE是正方形，∴∠DOE=90°。∴∠FOD+∠EOG=90°。

∴S阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形BOD﹣S扇形EOG=×2×3+×3×﹣。

【解析】

试题（1）由AB为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AB，在直角三角形BDO中，利用锐角三角函数定义，根据tan∠BOD及BD的值，求出OD的值即可。

（2）连接OE，由AE=OD=3，且OD与AE平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到OE与AD平行，再由DA与AE垂直得到OE与AC垂直，即可得证。

（3）阴影部分的面积由三角形BOD的面积+三角形ECO的面积﹣扇形DOF的面积﹣扇形EOG的面积，求出即可。