Question

已知，平面直角坐标系中，直线 y₁=x+3与抛物线y₂=﹣+2x 的图象如图，点P是 y₂ 上的一个动点，则点P到直线 y₁ 的最短距离为（）

A.     B.     C.     D.

Answer

B

【解析】

设过点P平行直线y1的解析式为y=x+b，当直线y=x+3与抛物线只有一个交点时，点P到直线y1的距离最小，如图设直线y1交x轴于A，交y轴于B，直线y=x+交x轴于C，作CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，想办法求出CD的长即可解决问题.

【解析】
设过点P平行直线y1的解析式为y=x+b，

当直线y=x+3与抛物线只有一个交点时，点P到直线y1的距离最小，

由，消去y得到：x2-2x+2b=0，

当△=0时，4-8b=0，

∴b=，

∴直线的解析式为y=x+，

如图设直线y1交x轴于A，交y轴于B，直线y=x+交x轴于C，作CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，则A（-3，0），B（0，3），C（-，0）,

∴OA=OB=3，OC=，AC=，

∴∠DAC=45°，

∴CD==，

∵AB∥PC，CD⊥AB，PE⊥AB，

∴PE=CD=，

故选：B．