Question

二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．

（1）求二次函数的解析式；

（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM平分∠OFP；

（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．

Answer

（1）y=x2；（2）证明见解析；（3）（，3）或（﹣，3）．

【解析】

试题（1）根据题意可设函数的解析式为y=ax2，将点A代入函数解析式，求出a的值，继而可求得二次函数的解析式；

（2）过点P作PB⊥y轴于点B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF=PM，∠PFM=∠PMF，结合平行线的性质，可得出结论；

（3）首先可得∠FMH=30°，设点P的坐标为（x，x2），根据PF=PM=FM，可得关于x的方程，求出x的值即可得出答案．

试题解析：（1）∵二次函数图象的顶点在原点O，

∴设二次函数的解析式为y=ax2，

将点A（1，）代入y=ax2得：a=，

∴二次函数的解析式为y=x2；

（2）∵点P在抛物线y=x2上，

∴可设点P的坐标为（x，x2），

过点P作PB⊥y轴于点B，则BF=|x2﹣1|，PB=|x|，

∴Rt△BPF中，

PF==x2+1，

∵PM⊥直线y=﹣1，

∴PM=x2+1，

∴PF=PM，

∴∠PFM=∠PMF，

又∵PM∥y轴，

∴∠MFH=∠PMF，

∴∠PFM=∠MFH，

∴FM平分∠OFP；

（3）当△FPM是等边三角形时，∠PMF=60°，

∴∠FMH=30°，

在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4，

∵PF=PM=FM，

∴x2+1=4，

解得：x=±2，

∴x2=×12=3，

∴满足条件的点P的坐标为（2，3）或（﹣2，3）．