Question

在等腰直角中，，为斜边的中点，为直角边的中点，过点作，证明：．

Answer

见解析.

【解析】

连接CM、MN，可得CM⊥AB，然后根据∠AHB=∠CMB=90°证明H、C、B、M四点共圆，继而根据四点共圆可证得∠MHN+∠NAM=180°，即可得出A、N、M、H四点共圆，然后根据∠AHN=∠BHM，∠ANH=∠BMH证明△ANH∽△BMH，根据三角形的相似得出HN•HB=AH•HM，继而可证得CH2=AH•MH．．

连接、，

∵点为中点．为等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴、、、四点共圆，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴、、、四点共圆，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

在中，

∵，

∴．