Question

如图，在长方形中，cm，cm，点为的中点.若点 在线段上以1 cm/s的速度由点向点运动，到点时不动.同时，点在线段上由点向点运动.

  (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1 s后，与是否全等?请说明理由，并判断此时线段和的位置关系;

  (2)若点的运动速度与点的运动速度相等，运动时间为s，设的面积为cm²，请用含的代数式表示;

  (3)若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等?

Answer

（1）见解析；（2）S=−t+6;（3）cm/s

【解析】

（1）本题很容易证明△AEP≌△BPQ，这样可得出∠AEP=∠BPQ，因为∠AEP+∠APE=90°，可得出∠BPQ+∠APE=90°，这即可判断出结论．
（2）可分别用t表示出AP、BQ、BP、CQ的长度，然后用矩形的面积减去△APE、△BPQ及梯形EDCQ的面积即可得出△PEQ的面积为Scm2．
（3）设Q运动的速度为xcm/s，则根据△AEP与△BQP得出AP=BP、AE=BQ或AP=BQ，AE=BP，从而可列出方程组，解出即可得出答案．

(1)∵长方形ABCD，

∴∠A=∠B=90°，

∵点E为AD的中点，AD=6cm，

∴AE=3cm，

又∵P和Q的速度相等可得出AP=BQ=1cm，BP=3，

∴AE=BP，

在△AEP和△BQP中，

，

∴△AEP≌△BPQ，

∴∠AEP=∠BPQ，

又∵∠AEP+∠APE=90°，

故可得出∠BPQ+∠APE=90°,即∠EPQ=90°，

即EP⊥PQ.

(2)连接QE,由题意得：AP=BQ=t,BP=4−t,CQ=6−t,

SPEQ=SABCD−SBPQ−SEDCQ−SAPE=AD×AB−AE×AP−BP×BQ− (DE+CQ)×CD=24−×3t−t(4−t)− ×4(3+6−t)= −t+6，

(3)设点Q的运动速度为xcm/s，

①经过y秒后,△AEP≌△BQP，则AP=BP，AE=BQ，

∴，

解得：，

即点Q的运动速度为cm/s时能使两三角形全等.

②经过y秒后,△AEP≌△BPQ，则AP=BQ，AE=BP，

∴y=xy,3=4−y，

解得： (舍去).

综上所述,点Q的运动速度为cm/s时能使两三角形全等。