Question

如图，等腰中，＝90°，于，的平分线分别交、于、两点，为的中点，延长交于点，连接．下列结论：① ；②  ；③ ；④；上述结论中正确的个数是（     ）

A. 4个    B. 3个    C. 2个    D. 1个

Answer

A

【解析】

根据题意可得：AB=AC，∠BCA=∠ABC=45°=∠DAC=∠DAB，AD=BD=CD，AD⊥BC，即可证AE=AF，△ADN≌△BFD，△ABF≌△ANC，AM=MN；即可得结论．

【解析】
∵等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，

∴AB=AC，∠BCA=∠ABC=45°=∠DAC=∠DAB，AD=BD=CD，AD⊥BC,

∵BE是平分∠ABC,

∴∠ABE=∠CBE=22.5°

∵AB⊥AC，AD⊥BC,

∴∠AEB=67.5°，∠AFD=67.5°=∠AFE,

∴∠AFE=∠AEB,

∴AF=AE,

故①正确,

∵M是EF的中点，AE=AF,

∴AM⊥BE，∠DAM=∠CAM=22.5°,

∴∠DAN=∠CBE=22.5°，且∠ADB=∠ADN，AD=BD,

∴△ADN≌△BDF

∴DF=DN,

故②正确,

∵AB=AC，∠ACB=∠DAB=45°，∠ABF=∠CAN=22.5°,

∴△ABF≌△CAN,

∴AF=CN，且AE=AF,

∴AE=CN,

故③正确,

∵∠BAN=∠BAD=∠DAN=67.5°，∠BNA=∠ACB+∠NAC=67.5°,

∴∠BAN=∠BNA,

∴BA=BN且AM⊥BE,

∴AM=MN,

∴△AMD和△DMN的面积相等,

故④正确,

故选：D．