Question

（本题9分）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．

例如：①用配方法因式分【解析】
a²+6a+8

原式=a²+6a+9－1

=（a+3）² –1

=（a+3－1）（a+3+1）

=（a+2）（a+4）

②若M=a²－2ab+2b²－2b+2，利用配方法求M的最小值：

a²－2ab+2b²－2b+2=a²－2ab+b²+b²－2b+1+1

=（a－b）²+（b－1）² +1

∵（a－b）²≥0，（b－1）² ≥0

∴当a=b=1时，M有最小值1

请根据上述材料解决下列问题：

（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a ²+4a+        ．

（2）用配方法因式分解： a²－24a+143

（3）若M=a²+2a +1，求M的最小值．

（4）已知a²+b²+c²－ab－3b－4c+7=0，求a+b+c的值．

Answer

（1）4；（2）；（3）M的最小值-3；（4）a+b+c=5．

【解析】

试题（1）添加的常数项为一次项系数4一半的平方，即这个常数项为4；（2）类比例题进行分解因式即可；（3）类比例题求M的最小值即可；

试题解析：（1）4；

（2）a2－24a+143=a2－24a+144-1==（a-12+1）（a-12-1）=；

（3）M=a2+2a +1=a2+2a+4-3=，

∵≥0，

∴当a=-4时，M有最小值-3．

（4）

，

∴，

解得a=1，b=2，c=2．

∴a+b+c=1+2+2=5．