Question

（13分）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得线段BE、EF、FD之间的数量关系为           ．

（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，线段BE、EF、FD之间存在什么数量关系，为什么？

（3）如图3，点A在点O的北偏西30°处，点B在点O的南偏东70°处，且AO=BO，点A沿正东方向移动249米到达E处，点B沿北偏东50°方向移动334米到达点F处，从点O观测到E、F之间的夹角为70°，根据（2）的结论求E、F之间的距离．

Answer

（1）EF=BE+DF；（2）成立；（3）583m．

【解析】

试题（1）因为△AEF≌△AGF，所以EF=GF,又DG=BE，所以EF=BE+FD ；（2）类比（1）的作法，延长FD到点G，使DG=BE．连结AG，可证△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，然后等量代换可得EF="GF=" BE+FD；（3）连结EF，由（2）的结论可得EF=AE+BF=249+334=583米.

试题解析：（1）EF=BE+FD 3分

（2）延长FD到点G，使DG=BE．连结AG，

∠B+∠ADF=180° ∴∠B=∠ADG 4分

又AB=AD BE=DG

∴△ABE≌△ADG， 5分

∴AE=AG ∠GAD=∠EAB

∵∠EAF=∠BAD ∴∠EAF=∠GAF 6分 又AF=AF

∴△AEF≌△AGF，7分

∴EF="GF=" BE+FD 8分

（3）∠AOH=30° ∠BOD=20°

∠CBF=50°

∴∠OBF=120°

∴∠OBF+∠A=180° 10分

∠AOB=140° ∴∠EOF=∠AOB 12分

又AO=BO

∴根据（2）的结论可得EF=583米 13分