Question

如图1，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．

(1)直接写出∠AFC的度数：　   　；

(2)请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

(3)如图2，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，试判断线段AE、CD与AC之间的数量关系并说明理由．

Answer

(1)120°；(2)DF＝EF，理由见解析；(3)AC＝AE+CD，理由见解析.

【解析】

（1）根据角平分线的基本性质以及三角形内角和为180°即可得到答案；

（2）AC上截取CG＝CD，证明△CFG≌△CFD，从而得到DF＝GF,再证明△AFG≌△AFE，得到EF＝GF，故DF＝EF，得到答案；

（3）如图3，在AC上截取AG＝AE，可证明△EAF≌△GAF（SAS），可得到∠EFA＝∠GFA，再证明△FDC≌△FGC（ASA），可得到CD＝CG,∴AC＝AG＋CG＝AE＋CD.

(1)∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，

∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，

∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，

∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°，

∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACF）＝120°

(2) FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．

理由：如图2，在AC上截取CG＝CD，

∵CE是∠BCA的平分线，

∴∠DCF＝∠GCF，

在△CFG和△CFD中，

，

∴△CFG≌△CFD（SAS），

∴DF＝GF．

∵∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，

∴∠FAC＝∠BAC，∠FCA＝∠ACB，且∠EAF＝∠GAF，

∴∠FAC+∠FCA＝（∠BAC+∠ACB）＝（180°﹣∠B）＝60°，

∴∠AFC＝120°，

∴∠CFD＝60°＝∠CFG，

∴∠AFG＝60°，

又∵∠AFE＝∠CFD＝60°，

∴∠AFE＝∠AFG，

在△AFG和△AFE中，

,

∴△AFG≌△AFE（ASA），

∴EF＝GF，

∴DF＝EF；

(3)结论：AC＝AE+CD．

理由：如图3，在AC上截取AG＝AE，

同(2)可得，△EAF≌△GAF（SAS），

∴∠EFA＝∠GFA．

又由题可知，∠FAC＝∠BAC，∠FCA＝∠ACB，

∴∠FAC+∠FCA＝（∠BAC+∠ACB）＝（180°﹣∠B）＝60°，

∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝120°，

∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，

∴∠CFG＝∠CFD＝60°，

同(2)可得，△FDC≌△FGC（ASA），

∴CD＝CG，

∴AC＝AG+CG＝AE+CD．