Question

如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD．已知∠CAD=∠B．

（1）求证：AD是⊙O的切线．

（2）若BC=8，tanB=，求⊙O的半径．

Answer

（1）证明见解析；（2）r=．

【解析】（1）连接OD，由OD=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到∠1=∠3，求出∠4为90°，即可得证；

（2）设圆的半径为r，利用锐角三角函数定义求出AB的长，再利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到结果．

详（1）证明：连接OD，

∵OB=OD，

∴∠3=∠B，

∵∠B=∠1，

∴∠1=∠3，

在Rt△ACD中，∠1+∠2=90°，

∴∠4=180°-（∠2+∠3）=90°，

∴OD⊥AD，

则AD为圆O的切线；

（2）设圆O的半径为r，

在Rt△ABC中，AC=BCtanB=4，

根据勾股定理得：AB=，

∴OA=4-r，

在Rt△ACD中，tan∠1=tanB=，

∴CD=ACtan∠1=2，

根据勾股定理得：AD2=AC2+CD2=16+4=20，

在Rt△ADO中，OA2=OD2+AD2，即（4-r）2=r2+20，

解得：r=．