Question

如图,在△ABC中,∠A=90°,点D为BC的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,试写出线段BE,EF,FC之间的数量关系,并说明理由.

Answer

FC2+BE2=EF2.

【解析】

BE2+CF2＝EF2，可延长FD至P，使DP＝DF，连接EP，连接BP，证明△CFD≌BPD，进而在Rt△PBE中，由勾股定理即可得出结论．

BE2+CF2＝EF2．理由如下：

延长FD至P，使DP＝DF，连接EP，BP．

∵D是BC的中点，∴BD＝CD．

在△CDF和△BPD中，∵，∴△CDF≌△BPD（SAS），∴CF＝BP，∠C＝∠PBD．

∵∠A＝90°，∴∠ABP＝∠ABC+∠DBP＝∠ABC+∠C＝180°﹣90°＝90°．

∵DE⊥DF，DF＝DP，∴EF＝FP（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）．在Rt△BEP中，由勾股定理得：BE2+BP2＝EP2＝EF2，即：BE2+CF2＝EF2．