Question

已知，抛物线y=ax²+bx+4与x轴交于点A（-3，0）和B（2，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；   

（2）如图1，若点D为CB的中点，将线段DB绕点D旋转，点B的对应点为点G，当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，求点G的坐标；   

（3）如图2，若点D为直线BC或直线AC上的一点，E为x轴上一动点，抛物线y=ax²+bx+4对称轴上是否存在点F，使以B，D，F，E为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．   

Answer

（1）抛物线的解析式为；

（2）点G的坐标 或

（3）点F的坐标为， ，，

【解析】

试题（1）将A（-3，0）和B（2，0）两点代入解析式，求出a、b的值，即可求得抛物线的解析式；(2)）设点G的坐标为，过点D作DH⊥对称轴于点H，因点D是BC的中点，可得点D的坐标为，，由折叠的性质可得DH=DB,根据勾股定理可得 ，解得y的值,即可得点G的坐标；(3)分当BE为对角线和BE为菱形的边时两种情况讨论求解即可.

试题解析：

（1）由题意得 ,

解得,

∴

（2）设点G的坐标为

过点D作DH⊥对称轴于点H

∵点D是BC的中点

∴点D的坐标为，

由折叠得，DH=DB

∴

∴

∴点G的坐标为或

（3）①当BE为对角线时，因为菱形的对角线互相垂直平分，所以此时D即为对称轴与AC的交点，F为点D关于x轴的对称点

设

∵C，A

∴

∴

∴

∴当时，

∴D

∴F

②当BE为菱形的边时，有DF∥BE

I)当点D在直线BC上时

易得

设D，则点F

∵四边形BDFE是菱形

∴FD=DB

根据勾股定理得，

解得：，

∴F或

II）当点D在直线AC上时

设D，则点F

∵四边形BFDE是菱形

∴FD=FB

根据勾股定理得，

解得：(舍去)，

∴F

综上所述，点F的坐标分别为：， ，

，