Question

如图，AM∥BN，∠MAB和∠NBA的角平分线相交于点P，过点P作直线EF分别交AM、BN于F、E．

(1)求证：AB＝AF+BE；

(2)若EF绕点P旋转，F在MA的延长线上滑动，如图，请你测量，猜想AB、AF、BE之间的关系，写出这个关系式，并加以证明．

Answer

(1)证明见解析；(2)见解析.

【解析】

(1)延长AP交BE于Q，求出AB=BQ，根据BP平分∠ABE求出AP=PQ，推出AF=EQ，即可得出答案；

（2）①求出AB=BQ，根据BP平分∠ABE求出AP=PQ，推出AF=EQ，即可得出答案；

②延长AP交BE于Q，同①可得AB=BQ，再求出AF=EQ，即可得出答案．

(1)延长AP交BE于Q，

∵AP平分∠MAB，

∴∠MAP＝∠BAP，

∵AM∥BN，

∴∠MAP＝∠AQB，

∴∠BAP＝∠AQB，

∴AB＝BQ，

∵BP平分∠ABE，

∴AP＝PQ，

∵AM∥BN，

∴＝＝1，

∴AF＝EQ，

∴AB＝AF+BE；

(2)①成立，

如图2，

延长AP交BE于Q，

∵AP平分∠MAB，

∴∠MAP＝∠BAP，

∵AM∥BN，

∴∠MAP＝∠AQB，

∴∠BAP＝∠AQB，

∴AB＝BQ，

∵BP平分∠ABE，

∴AP＝PQ，

∵AM∥BN，

∴＝＝1，

∴AF＝EQ，

∴AB＝AF+BE；

②不同，猜想：AF+AB＝BE，

证明：延长AP交BE于Q，

∵AP平分∠MAB，

∴∠MAP＝∠BAP，

∵AM∥BN，

∴∠MAP＝∠AQB，

∴∠BAP＝∠AQB，

∴AB＝BQ，

∵BP平分∠ABE，

∴AP＝PQ，

∵AM∥BN，

∴＝＝1，

∴AF＝EQ，

∴AF+AB＝BE．