Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是直线AB上的一动点（不和A、B重合），BE⊥CD于E，交直线AC于F.

(1)点D在边AB上时，试探究线段BD、AB和AF的数量关系，并证明你的结论；

(2)点D在AB的延长线或反向延长线上时，(1)中的结论是否成立？若不成立，请直接写出正确结论.

                        备用图

Answer

(1)见解析；（2）见解析

【解析】

试题（1）通过三角形全等的判定ASA证明△FAB≌△DAC，然后根据全等三角形的性质可证得结论；

（2）根据题意，分为：点D在AB的延长线上；点D在AB的反向延长线上，两种情况进行讨论即可.

试题解析：(1)如图1，

∵BE⊥CD即∠BEC=90°，∠BAC=90°，

∴∠F+∠FBA=90°，∠F+∠FCE=90°．

∴∠FBA=∠FCE．

∵∠FAB=180°-∠DAC=90°，

∴∠FAB=∠DAC．

在△FAB和△DAC中，

AB=AC

∴△FAB≌△DAC（ASA）．

∴FA=DA．

∴AB=AD+BD=FA+BD．

（2）（1）中的结论不成立．

点D在AB的延长线上时，AB=AF-BD；点D在AB的反向延长线上时，AB=BD-AF．

理由如下：

①当点D在AB的延长线上时，如图2．

同理可得：FA=DA．

则AB=AD-BD=AF-BD．

②点D在AB的反向延长线上时，如图3．

同理可得：FA=DA．

则AB=BD-AD=BD-AF．