Question

在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论有（   ）个．

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

Answer

C

【解析】

连接CF，证明△ADF≌△CEF，根据全等三角形的性质判断①，根据正方形的判定定理判断②，根据全等三角形的性质判断③，求出△DEF的最小值判断④．

连接CF.

∵△ABC为等腰直角三角形，

∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB，

在△ADF和△CEF中，

,

∴△ADF≌△CEF，

∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，

∵∠AFD+∠CFD=90°，

∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，

∴△EDF是等腰直角三角形，①正确；

当D. E分别为AC，BC的中点时，四边形CDEF是正方形，②错误；

∵△ADF≌△CEF，

∴，

∴四边形CDFE的面积，

∴四边形CDFE的面积保持不变，③正确；

∵△DEF是等腰直角三角形，

∴当DE最小时，DF也最小，

即当DF⊥AC时,DE最小,此时DF= AC=4，

∴DE= DF=，

当△CDE面积最大时，此时△DEF的面积最小，

∴，④正确，

故选：C.