Question

如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，在菱形ABCD内部有一点P，当PA+PB+PC值最小时，PB的长为________．

 

Answer

【解析】

将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，连接PE、DE，则线段BD即为PA+PB+PC最小值的线段；当B、P、E、D四点共线时，PA+PB+PC值最小，最小值为BD．先由旋转的性质得出△APC≌△DEC，则CP=CE，再证明△PCE是等边三角形，得到PE=CE=CP，然后根据菱形、三角形外角的性质，等腰三角形的判定得出BP=CP，同理，得出DE=CE，则BP=PE=ED=BD．

将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，连接PE、DE，

则线段BD等于PA+PB+PC最小值的线段；

如图，当B. P、E. D四点共线时，PA+PB+PC值最小，最小值为BD.

∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，

∴△APC≌△DEC，

∴CP=CE,∠PCE=60°，

∴△PCE是等边三角形，

∴PE=CE=CP,∠EPC=∠CEP=60°.

∵菱形ABCD中,∠ABP=∠CBP= ∠ABC=30°，

∴∠PCB=∠EPC−∠CBP=60°−∠30°=30°，

∴∠PCB=∠CBP=30°，

∴BP=CP，

同理，DE=CE，

∴BP=PE=ED.

连接AC，交BD于点O，则AC⊥BD.

在Rt△BOC中,∵∠BOC=90°,∠OBC=30°，BC=4，

∴BO=BC⋅cos∠OBC=4× = ，

∴BD=2BO=，

∴BP=BD=.

即当PA+PB+PC值最小时PB的长为.

故答案为：.