Question

在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如右图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁，…按这样的规律进行下去，第2017个正方形的面积为_____．

Answer

5×（）4032

【解析】试题解析：设正方形的面积分别为S1，S2…，Sn，

根据题意，得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，

∴∠BAA1=∠B1A1A2=∠B2A2x（同位角相等）．

∵∠ABA1=∠A1B1A2=∠A2B2x=90°，

∴△BAA1∽△B1A1A2，

在直角△ADO中，根据勾股定理，得：AD=，tan∠ADO=，

∵tan∠BAA1==tan∠ADO，

∴BA1=AB=，

∴CA1=+，

同理，得：C1A2=（+）×（1+），

由正方形的面积公式，得：S1=（）2=5，

S2=（）2×（1+）2，

S3=（）2×（1+）4=5×（）4，

由此，可得S2017=（）2×（1+）2×2016=5×（）4032．