Question

(1)问题发现

如图1,点E. F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°，连接EF、则EF=BE+DF，试说明理由；

(2)类比引申

如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,点E. F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°，若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系                     时，仍有EF=BE+DF；

(3)联想拓展

如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°，猜想BD、DE、EC满足的等量关系，并写出推理过程。

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】试题（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；

（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFE≌△AFG，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；

（3）把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，证明△AFE≌△AFG（SAS），则EF=FG，∠C=∠ABF=45°，△BDF是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断．

试题解析：(1)理由是：如图1，

∵AB=AD，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90∘至△ADG，可使AB与AD重合，如图1，

∵∠ADC=∠B=90∘，

∴∠FDG=180∘，点F. D. G共线，

则∠DAG=∠BAE，AE=AG，

∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90∘−45∘=45∘=∠EAF，

即∠EAF=∠FAG，

在△EAF和△GAF中，

AF=AF，∠EAF=∠GAF，AE=AG，

∴△AFG≌△AFE(SAS)，

∴EF=FG=BE+DF；

(2)∠B+∠D=180∘时，EF=BE+DF；

∵AB=AD，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90∘至△ADG，可使AB与AD重合，如图2，

∴∠BAE=∠DAG，

∵∠BAD=90∘,∠EAF=45∘，

∴∠BAE+∠DAF=45∘，

∴∠EAF=∠FAG，

∵∠ADC+∠B=180∘，

∴∠FDG=180∘，点F. D. G共线，

在△AFE和△AFG中，

AE=AG，∠FAE=∠FAG，AF=AF，

∴△AFE≌△AFG(SAS)，

∴EF=FG，

即：EF=BE+DF，

故答案为：∠B+∠ADC=180∘；

(3)BD2+CE2=DE2.

理由是：把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，

则∠FAB=∠CAE.

∵∠BAC=90∘,∠DAE=45∘，

∴∠BAD+∠CAE=45∘，

又∵∠FAB=∠CAE，

∴∠FAD=∠DAE=45∘，

则在△ADF和△ADE中，

AD=AD，∠FAD=∠DAE，AF=AE，

∴△ADF≌△ADE，

∴DF=DE,∠C=∠ABF=45∘，

∴∠BDF=90∘，

∴△BDF是直角三角形,

∴BD2+BF2=DF2，

∴BD2+CE2=DE2.