Question

如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A（﹣4，0），B（﹣1，3），C（﹣3，3）．

（1）求此二次函数的解析式

（2）设此二次函数的对称轴为直线 l，该图象上的点 P（m，n）在第三象限， 其关于直线 1 的对称点为 M，点 M 关于 y 轴的对称点为 N，若四边形 OAPN 的面积为 20，求 m，n 的值；

（3）在对称轴直线 l 上是否存在一点 D，使△ADC 的周长最短，如果存在，求出点 D 的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=﹣x2﹣4x；（2）m 的值为﹣5，n 的值为﹣5；（3）在对称轴直线 l 上存在一点 D，使△ADC 的周长最短，点 D 的坐标为（﹣2， 2）．

【解析】

(1)根据点 A、B、C 的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；

(2)利用配方法找出二次函数的对称轴，由点 P 的坐标可得出点 M、N 的坐标，利用梯形的面积公式结合四边形 OAPN 的面积为 20，可求出 n 值，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出 m 的值；

(3)连接 AB，交直线 l 于点 D，利用两点之间线段最短可得出点 D 即为所求， 根据点 A、B 的坐标，利用待定系数法可求出直线 AB 的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点 D 的坐标．

【解析】
（1）将 A（﹣4，0）、B（﹣1，3）、C（﹣3，3）代入 y=ax2+bx+c 中，

得： ，解得： ，

∴二次函数的解析式为 y=﹣x2﹣4x．

（2）∵二次函数的解析式为 y=﹣x2﹣4x=﹣（x+2）2+4，

∴二次函数的对称轴为直线 x=﹣2．

∵点 P（m，n）关于直线 1 的对称点为 M，点 M 关于 y 轴的对称点为 N，

∴点 M（﹣4﹣m，n），点 N（m+4，n）（如图 1），

∴S 四边形 OAPN=（OA+PN）•|n|= （4+4）|n|=20， 解得：n1=5，n2=﹣5．

∵点 P（m，n）在第三象限，

∴n=﹣5，

∴﹣m2﹣4m=﹣5，

解得：m1=﹣5，m2=1（舍去）．

∴m 的值为﹣5，n 的值为﹣5．

（3）∵AC 的值为定值，

∴要使△ADC 的周长最短，则 AD+CD 的值最小．

连接 AB，交直线 l 于点 D，则 BD=CD，此时由两点之间线段最短可得知，点 D

即为所求（如图 2）．

设直线 AB 的解析式为 y=kx+d（k≠0），

将 A（﹣4，0）、B（﹣1，3）代入 y=kx+d 中，

得： ，解得： ，

∴直线 AB 的解析式为 y=x+4， 当 x=﹣2 时，y=x+4=2，

∴点 D 的坐标为（﹣2，2）．

∴在对称轴直线 l 上存在一点 D，使△ADC 的周长最短，点 D 的坐标为（﹣2， 2）．