Question

如图，已知点A是双曲线在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第四象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在第四象限，且双曲线始终经过点C，则k的值为_____．

Answer

【解析】

连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，设A点坐标为（a，），利用反比例函数的性质得到点A与点B关于原点对称，则OA=OB，再根据等腰直角三角形的性质得OC=OA，OC⊥OA，然后利用等角的余角相等可得到∠DCO=∠AOE，则根据“AAS”可判断△COD≌△OAE，所以OD=AE=，CD=OE=a，于是C点坐标为（，a），最后根据反比例函数图象上点的坐标特征确定C点所在的函数图象解析式．

【解析】

连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，如图，

设A点坐标为（a，），

∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y=的交点，

∴点A与点B关于原点对称，

∴OA=OB

∵△ABC为等腰直角三角形，

∴OC=OA，OC⊥OA，

∴∠DOC+∠AOE=90°，

∵∠DOC+∠DCO=90°，

∴∠DCO=∠AOE，

在△COD和△OAE中，

，

∴△COD≌△OAE（AAS），

∴OD=AE=，CD=OE=a，

∴C点坐标为（，-a），

∵-a•=-2，

∴点C在反比例函数y=-图象上．

故答案为-2．