Question

如图所示，△OA₁B₁，△A₁A₂B₂，△A₂A₃B₃，…，△A_n﹣1A_nB_n，都是等腰直角三角形，斜边OB₁，A₁B₂，…，A_n﹣1B_n的中点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）都在函数的图象上，则y₁+y₂+y₃+…+y_n=_____．

Answer

【解析】

根据△OP1A1是等腰直角三角形，过点P1作P1M⊥x轴，则P1M=OM=MA1，所以可设P1的坐标是（a，a），把（a，a）代入解析式得到a=4，从而求出A1的坐标是（8，0），再根据△P2A1A2是等腰直角三角形，设P2的纵坐标是b，则P2的横坐标是8+b，把（8+b，b）代入函数解析式得到b的值，故可得出P2的纵坐标y2，同理可以得到p3的纵坐标，Pn的纵坐标，根据规律可以求出y1+y2+…yn．

【解析】
如图，过点P1作P1M⊥x轴，
∵△OP1A1是等腰直角三角形，
∴P1M=OM=MA1，
设P1的坐标是（a，a），把（a，a）代入解析式y= （a＞0）中，得a=4，
∴y1=4，
又∵△P2A1A2是等腰直角三角形，
∴设P2的纵坐标是b（b＞0），则P2的横坐标是8+b，把（8+b，b）代入函数解析式得b=，
解得b=4-4
∴y2=4-4，
设P3的纵坐标是c（c＞0），则P3横坐标为8+2（4-4）+c=8+c，把（8+c，c）代入函数解析式得c=，
解得c=4-4，
∴y3=4-4，
∵y1=4-4，y2=4-4，y3=4-4，…
∴yn=4-4，
∴y1+y2+y3+…+yn=4+4-4+4-4+…+4-4=4．
故答案为4．