Question

如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2），过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．

（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；

（2）若反比例函数y=（x＞0）的图象经过点M，在该反比例函数的图象上是否存在一点P，使△PMN的面积等于△OMN的面积的一半，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由．

（3）若反比例函数y=（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围．

Answer

（1）（2，2）；（2）（1，4）或（8，）；（3）4≤k≤8．

【解析】

对于（1）直接将点D，E坐标代入y=kx+b求出解析式，再将点M的纵坐标代入解析式可得答案；

对于（2），将点M坐标代入反比例函数关系式，求出m值，再根据已知条件转化面积求出相关线段长度，进而解答；

对于（3），先求出当反比例函数图象经过点M，B时m的值，进而得出范围.

【解析】
（1）设直线DE的解析式是y=kx+b，

根据题意得：，

解得：，

则直线DE的解析式是：y=﹣x+3，

令y=2，得到2=﹣x+3，解得：x=2，则M的坐标是（2，2）；

（2）把M（2，2）代入y=得；k=4，

则反比例函数的解析式是：y=，

当x=4时，y=﹣+3=1，则N（4，1），

∴MN==，

则△OMN的面积S=S矩形OABC﹣S△OAM﹣S△BMN﹣S△OCN=2×4﹣﹣﹣=8﹣2﹣1﹣2=3，

∵S△PMN=S△OMN，

=，

=3，

PG=，

存在点P，设P（x，），过P作PG⊥MN于G，作PH⊥x轴于H，交直线DE于F，

∵∠PGF=∠DAM=90°，

∴∠GPF=∠DMA，

∴△PGF∽△MAD，

∴，

∴，

x=1或8，

∴P的坐标为：（1，4）或（8，）；

（3）经过M的反比例函数的解析式是：y=，同时经过点N，

经过点B的反比例函数的解析式是：y=，

则反比例函数y=（x＞0）的图象与△MNB有公共点时，k的范围是：4≤k≤8．