Question

如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象在第一象限交于点C，△ABC是边长为3的等边三角形，且AB边在x轴额正半轴上，cos∠COA=．

（1）求k，m的值；

（2）点P在射线OC上，且OP=5，动点Q从点P出发先沿着适当的路径运动到线段AB中垂线上的点M处，再沿垂直于y轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止，当点Q的运动路径最短时，求N点坐标及点Q运动的最短路程；

（3）将△ABC绕点A进行旋转，在旋转过程中，设BC所在直线与射线OC相交于点R，与x轴正半轴交于点T，当△ORT为等腰三角形时，求OT的长．

Answer

（1）k=，m=（2）+．（3）OT的长为3+ ﹣或3+或6或3﹣ +．

【解析】

（1）由cos∠COA=，可得∠AOC=30°，求出点C坐标即可解决问题．
（2）如图2中，作CH⊥AB于H，作PG⊥CH，使得PG=OH，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′G交y轴于N，作NM⊥y轴，交CH于M，此时点Q运动的路径P→M→N→A最短．
再想办法求出直线A′G的解析式即可解决问题．
（3）分三种情形讨论）①如图3中，当OR=OT时，作AG⊥BC于G，则AG=，把△ATG放大（如图4中，在AG上取一点M，使得AM=MT），求出AT即可．②如图5中，当RO=RT时，作BG⊥AT于G．③如图6中，当TO=TR时，分别求解即可．

【解析】
（1）如图1中，作CK⊥AB于K．

∵cos∠COA=，

∴∠AOC=30°，

∵△ABC是等边三角形，边长为3，

∴AB=BC=AC=3，∠CAB=∠CBA=∠ACB=60°，

∴∠BCO=90°，

∴OB=2BC=6，OC=，

∴CK=OC=，OK=CK=，

∴点C坐标（，），分别代入正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=，

可得k=，m=．

（2）如图2中，作CH⊥AB于H，作PG⊥CH，使得PG=OH，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′G交y轴于N，作NM⊥y轴，交CH于M，此时点Q运动的路径P→M→N→A最短．理由：PM+MN+NA=PG+NG+A′N，=PG+A′G，∵PG=MN=桥长，A′G是线段，两点之间线段最短，∴PM+MN+NA最短．

∵OP=，∴点P坐标（，），

∵AH=，

∴PG=MN=OH=，

∴G（3，），∵A′（﹣3，0），

设直线A′G的解析式为y=kx+b，则有，

解得，

∴直线A′N的解析式为y=x+，

∴点N坐标（0，），

∵A′G==，

∴点Q运动的最短路程=A′G+PG=+．

（3）①如图3中，当OR=OT时，作AG⊥BC于G，则AG=，把△ATG放大（如图4中，在AG上取一点M，使得AM=MT），

∵∠ATG=75°，∠TAG=15°，

∴∠A=∠MTA=15°，

∴∠TMG=30°，设GT=a，则MT=AM=2a，MG=a，

∴2a+a=，

∴a=3﹣，

∴AT===﹣，

∴OT=3+﹣，

②如图5中，当RO=RT时，作BG⊥AT于G．

∵RO=RT，

∴∠ROT=∠RTO=30°，

∵∠ABC=60°=∠BAT+∠BTA，

∴∠BAT=∠BTA=30°，

∴BA=BT=3，AG=GT=AB•cos30°=，

∴AT=，OT=3+．

③如图6中，当TO=TR时，

∵TO=TR，

∴∠TOR=∠TRO=30°，

∴∠OTR=120°，∠ATR=60°，

∴T与C重合，

∴OT=OA+AC=6．

④如图7中，由②可知，当OR=OT时，OT=OA﹣AT=3﹣+．

综上所述，当△ORT为等腰三角形时，OT的长为3+﹣或3+或6或3﹣+．