Question

如图△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，B C=5cm；△DEF中∠D=90°，∠E=45°，DE=3cm．现将△DEF的直角边DF与△ABC的斜边AB重合在一起，并将△DEF沿AB方向移动(如图)．在移动过程中，D、F两点始终在AB边上(移动开始时点D与点A重合，一直移动至点F与点B重合为止)．

(1) 当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，E、B的连线与AC平行.

(2) 在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠EBD=22.5°？如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由.

Answer

(1) cm；（2）cm.

【解析】

试题（1）因为∠C=90°，∠A=30°，BC=5cm，所以AB=10cm，又因为∠FDE=90°，∠DEF=45°，DE=3cm，所以DE=4cm，连接EB，设BE∥AC，则可求证∠EBD=∠A=30°，故AD的长度可求；

（2）当∠EBD=22.5°时，利用三角形外角的性质求得∠BEF=22.5°，则∠EBD=∠BEF，故BF=EF=，AD=BD-BF-DF=（cm）；

试题解析：（1）cm时，BE∥AC．理由如下：

设EB∥AC，则∠EBD=∠A=30°，

∴在Rt△EBD中，cm

∴cm

∴cm时，BE∥AC；

(2) 在△DEF的移动过程中，当AD=cm时，使得∠EBD=22.5°．理由如下：

假设∠EBD=22.5°．

∵在△DEF中，∠D=90°，∠DEF=45°，DE=3cm，

∴EF=cm，∠DEF=∠DFE=45°，DE=DF=3cm．

又∵∠DFE=∠FEB+∠FBE=45°，

∴∠EBD=∠BEF，

∴BF=EF=，

∴AD=BD-BF-DF=（cm）．

∴在△DEF的移动过程中，当AD=cm时，使得∠EBD=22.5°.

考点: 几何变换综合题