Question

矩形 ABCD中，O为 AC 的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接 BF交AC于点M连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①△AOE≌△COF；②△EOB≌△CMB；③FB⊥OC，OM=CM；④四边形 EBFD 是菱形；⑤MB：OE=3：2其中正确结论的个数是（    ）

A. 5    B. 4    C. 3    D. 2

Answer

B

【解析】

作辅助线找全等三角形和特殊的直角三角形解题,见详解.

解：连接BD

∵四边形ABCD是矩形

∴AC=BD，AC、BD互相平分

∵O为AC中点

∴BD也过O点

∴OB=OC

∵∠COB=60°，OB=OC

∴△OBC是等边三角形

∴OB=BC=OC，∠OBC=60°

∵FO=FC，BF=BF

∴△OBF≌△CBF（SSS）

∴△OBF与△CBF关于直线BF对称

∴FB⊥OC，OM=CM.故③正确

∵∠OBC=60°

∴∠ABO=30°

∵△OBF≌△CBF

∴∠OBM=∠CBM=30°

∴∠ABO=∠OBF

∵AB∥CD

∴∠OCF=∠OAE

∵OA=OC

可得△AOE≌△COF,故①正确

∴OE=OF

则四边形EBFD是平行四边形，又可知OB⊥EF

∴四边形EBFD是菱形.故④正确

∴△EOB≌△FOB≌△FCB.则②△EOB≌△CMB错误

∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°,

设MB=a,则OM=a,OB=2a,

OF=OM,

∵OE=OF

∴MB：OE=3：2.则⑤正确

综上一共有4个正确的,

故选B.