Question

（1）如图①，点 M 是正方形 ABCD 的边 BC 上一点，点 N 是 CD 延长线上一点， 且BM=DN，则线段 AM 与 AN 的关系．

（2）如图②，在正方形 ABCD 中，点 E、F分别在边 BC、CD上，且∠EAF=45°，判断 BE，DF，EF 三条线段的数量关系，并说明理由．

（3）如图③，在四边形 ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∠ABC+∠ADC=180°，点E、F分别在边 BC、CD 上，且∠EAF=45°，若 BD=5，EF=3，求四边形 BEFD 的周长．

Answer

（1）结论：AM=AN，AM⊥AN．理由见解析；（2）BE+DF=EF；（3）四边形BEFD的周长为11．

【解析】

（1）利用正方形条件证明△ABM≌△ADN，即可推出结论,

（2）过点 A 作 AG⊥AE 交 CD 延长线于点 G,证明△ABE≌△ADG得AE=AG，∠EAF=∠GAF进而证明△AEF≌△AGF,得EF=FG即可解题,

（3）过点 A 作 AG⊥AE 交 CD 延长线于点 G．证明△ABE≌△ADG得AE=AG，∠EAF=∠GAF进而证明△AEF≌△AGF,得EF=FG即可解题.

（1）结论：AM=AN，AM⊥AN．

理由：∵四边形 ABCD 是正方形，

∴AB=AD，∠B=∠ADN=∠BAD=90°，

∵BM=DN，

∴△ABM≌△ADN，

∴AM=AN，∠BAM=∠DAN，

∴∠AMN=∠BAD=90°，

∴AM⊥AN，

（2）如图②中，过点 A 作 AG⊥AE 交 CD 延长线于点 G．

∵四边形 ABCD 为正方形，

∴AB=AD，∠B=∠BAD=∠ADC=90°．

∴∠B=∠ADG=90°，∠BAE+∠EAD=90°．

∵AG⊥AE，∴∠DAG+∠EAD=90°．

∴∠BAE=∠DAG．

在△ABE 和△ADG 中，

，

∴△ABE≌△ADG．

∴AE=AG，BE=DG．

∵∠EAF=45°，AG⊥AE，

∴∠EAF=∠GAF=45°．

在△FAE 和△FAG 中，

，

∴△AEF≌△AGF．

∴EF=FG．

∵FG=DF+DG=DF+BE，

∴BE+DF=EF．

（3）如图③中，过点 A 作 AG⊥AE 交 CD 延长线于点 G．

∵AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°

∴∠ABE=∠ADG，

∵AG⊥AE，∴∠DAG+∠EAD=90°．

∵∠BAE+∠EAD=90°

∴∠BAE=∠DAG．

在△ABE 和△ADG 中，

，

∴△ABE≌△ADG．

∴AE=AG，BE=DG．

∵∠EAF=45°，AG⊥AE，

∴∠EAF=∠GAF=45°．

在△FAE 和△FAG 中，

，

∴△AEF≌△AGF．

∴EF=FG．

∵FG=DF+DG=DF+BE，

∴BE+DF=EF．

∴四边形BEFD的周长为EF+（BE+DF）+DB=3+3+5=11．