Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE．

（1）证明DE∥CB；

（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．

Answer

（1）首先连接CE，根据直角三角形的性质可得CE=AB=AE，再根据等边三角形的性质可得AD=CD，然后证明△ADE≌△CDE，进而得到∠ADE=∠CDE=30°，再有∠DCB=150°可证明DE∥CB。

（2）当或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形。

【解析】

（1）首先连接CE，根据直角三角形的性质可得CE=AB=AE，再根据等边三角形的性质可得AD=CD，然后证明△ADE≌△CDE，进而得到∠ADE=∠CDE=30°，再有∠DCB=150°可证明DE∥CB。

（2）当或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形。若四边形DCBE是平行四边形，则DC∥BE，∠DCB+∠B=180°进而得到∠B=30°，再根据三角函数可推出或AB=2AC。

【解析】
（1）证明：连结CE，

∵点E为Rt△ACB的斜边AB的中点，

∴CE=AB=AE。

∵△ACD是等边三角形，∴AD=CD。

在△ADE与△CDE中，，

∴△ADE≌△CDE（SSS）。∴∠ADE=∠CDE=30°。

∵∠DCB=150°，∴∠EDC+∠DCB=180°。

∴DE∥CB。

（2）∵∠DCB=150°，若四边形DCBE是平行四边形，则DC∥BE，∠DCB+∠B=180°。

∴∠B=30°．

在Rt△ACB中，sinB=，即sin30°=，∴或AB=2AC。

∴当或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形。