Question

如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．

（1）求∠CAM的度数；

（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；

（3）当动D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．

Answer

（1）30°；（2）答案见解析；（3）∠AOB是定值，∠AOB＝60°．

【解析】

（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；

（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，由等式的性质就可以∠BCE＝∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC；

（3）分情况讨论：当点D在线段AM上时，如图1，由（2）可知△ACD≌△BCE，就可以求出结论；当点D在线段AM的延长线上时，如图2，可以得出△ACD≌△BCE而有∠CBE＝∠CAD＝30°而得出结论；当点D在线段MA的延长线上时，如图3，通过得出△ACD≌△BCE同样可以得出结论．

（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°．

∵线段AM为BC边上的中线，∴∠CAM∠BAC，∴∠CAM＝∠BAM＝30°．

（2）∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE．

在△ADC和△BEC中，∵，∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（3）∠AOB是定值，∠AOB＝60°．理由如下：

①当点D在线段AM上时，如图1，由（2）可知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，又∠ABC＝60°，∴∠CBE+∠ABC＝60°+30°＝90°．

∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线，∴AM平分∠BAC，即，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．

②当点D在线段AM的延长线上时，如图2．

∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE．

在△ACD和△BCE中，∵，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE＝∠CAD＝30°．

由（1）得：∠BAM＝30°，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．

③当点D在线段MA的延长线上时．

∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE．

在△ACD和△BCE中，∵，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE＝∠CAD．

由（1）得：∠CAM＝30°，∴∠CBE＝∠CAD＝150°，∴∠CBO＝30°，∠BAM＝30°，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．

综上所述：当动点D在直线AM上时，∠AOB是定值，∠AOB＝60°．