Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0），（5，0），（0，2）．若点P从A点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向B点移动，连接PC并延长到点E，使CE=PC，将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF，连接FB．若点P在移动的过程中，使△PBF成为直角三角形，则点F的坐标是________．

Answer

（5，2），（，）

【解析】

试题当P位于线段OA上时，显然△PFB不可能是直角三角形；由于∠BPF＜∠CPF=90°，所以P不可能是直角顶点，可分两种情况进行讨论：

①F为直角顶点，过F作FD⊥x轴于D，BP=6﹣t，DP=2OC=4，在Rt△OCP中，OP=t﹣1，由勾股定理易求得CP=t2﹣2t+5，那么PF2=（2CP）2=4（t2﹣2t+5）；在Rt△PFB中，FD⊥PB，由射影定理可求得PB=PF2÷PD=t2﹣2t+5，而PB的另一个表达式为：PB=6﹣t，联立两式可得t2﹣2t+5=6﹣t，即t=；

②B为直角顶点，那么此时的情况与（2）题类似，△PFB∽△CPO，且相似比为2，那么BP=2OC=4，即OP=OB﹣BP=1，此时t=2．

【解析】
能；

①若F为直角顶点，过F作FD⊥x轴于D，则BP=6﹣t，DP=2OC=4，

在Rt△OCP中，OP=t﹣1，

由勾股定理易求得CP2=t2﹣2t+5，那

么PF2=（2CP）2=4（t2﹣2t+5）；

在Rt△PFB中，FD⊥PB，

由射影定理可求得PB=PF2÷PD=t2﹣2t+5，

而PB的另一个表达式为：PB=6﹣t，

联立两式可得t2﹣2t+5=6﹣t，即t=，

P点坐标为（，0），

则F点坐标为：（，）；

②B为直角顶点，那么此时的情况与（2）题类似，△PFB∽△CPO，且相似比为2，

那么BP=2OC=4，即OP=OB﹣BP=1，此时t=2，

P点坐标为（1，0）．FD=2（t﹣1）=2，

则F点坐标为（5，2）．

故答案是：（5，2），（，）．