Question

建立模型：

（1）如图 1，已知△ABC，AC＝BC，∠C＝90°，顶点C在直线 l 上．操作：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E，求证△CAD≌△BCE．

模型应用：

（2）如图2，在直角坐标系中，直线l₁：y＝x+8与y轴交于点A，与x轴交于点B，将直线l₁绕着点A顺时针旋转45°得到l₂．  求l₂的函数表达式．

（3）如图3，在直角坐标系中，点B（10，8），作BA⊥y轴于点 A，作BC⊥x轴于点C，P是线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣6）位于第一象限内．问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时a的值，若不能，请说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）l2的函数表达式为y=x+8；（3）A、P、Q可以构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，a的值为4或8．

【解析】

试题操作：根据余角的性质，可得∠ACD=∠CBE，根据全等三角形的判定，可得答案；

应用（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B点坐标，根据全等三角形的判定与性质，可得CD，BD的长，根据待定系数法，可得AC的解析式；

（2）根据全等三角形的性质，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．

【解析】
操作：如图1：

，

∵∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，

∴∠ACD=∠CBE．

在△ACD和△CBE中，

∴△CAD≌△BCE（AAS）；

（1）∵直线y=x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，

∴A（0，4）、B（﹣3，0）．

如图2：

，

过点B做BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴

在△BDC和△AOB中，

，

△BDC≌△AOB（AAS），

∴CD=BO=3，BD=AO=4．OD=OB+BD=3+4=7，

∴C点坐标为（﹣7，3）．

设l2的解析式为y=kx+b，将A，C点坐标代入，得

，

解得

l2的函数表达式为y=x+4；

（2）由题意可知，点Q是直线y=2x﹣6上一点．

如图3：

，

过点Q作EF⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点E、F．

在△AQE和△QPF中，

，

∴△AQE≌△QPF（AAS），

AE=QF，即6﹣（2a﹣6）=8﹣a，

解得a=4

如图4：

，

过点Q作EF⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点E、F，

AE=2a﹣12，FQ=8﹣a．

在△AQE和△QPF中，

，

△AQE≌△QPF（AAS），

AE=QF，即2a﹣12=8﹣a，

解得a=；

综上所述：A、P、Q可以构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，a的值为或4．