Question

如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D．

（1）求证：AC平分∠DAB；

（2）求证：AC²=AD•AB；

（3）若AD=，sinB=，求线段BC的长．

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.

【解析】（1）连接OC，由可以得到 证出AD∥OC，由平行线的性质证出，即可得出结论；
（2）由圆周角定理证出 证明 得出对应边成比例，即可得出结论；
（3）由相似三角形的性质得出 得出求出 在中，由勾股定理即可求出BC的长．

(1)证明：连接OC，如图所示：

∵CD切于C，

∴CO⊥CD，

又∵AD⊥CD，

∴AD∥CO.

∴∠DAC=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠ACO=∠CAO，

∴∠DAC=∠CAO，

∴AC平分∠BAD.

(2)证明：∵AB为的直径，

∴

∵∠DAC=∠CAO，

∴△ADC∽△ACB，

∴AD:AC=AC:AB，

∴

(3)由(2)得：△ADC∽△ACB，

∴∠ACD=∠B，

∴

∴

∵

∴

在Rt△ABC中,