Question

如图，已知抛物线y=﹣x²+bx+c经过点A（5，）、点B（9，﹣10），与y轴交于点C，点P是直线AC上方抛物线上的一个动点；

（1）求抛物线对应的函数解析式；

（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线BC交于点E，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；

（3）当∠PCB=90°时，作∠PCB的角平分线，交抛物线于点F．

①求点P和点F的坐标；

②在直线CF上是否存在点Q，使得以F、P、Q为顶点的三角形与△BCF相似，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=﹣x2+2x﹣1；（2）点P坐标为（ ， ）；（3）①P（3，2），F（6，﹣1）;②存在，理由见解析，点Q的坐标为（4，﹣1）或（﹣3，﹣1）

【解析】

（1）根据抛物线经过点A，点B，运用待定系数法即可求得抛物线对应的函数表达式；

（2）根据直线BC为： 可设点P的坐标为 则E 进而得到PE= 最后根据四边形AECP的面积=△APE面积+△CPE面积，求得点P坐标为

（3）①根据∠PCB=90°，CF平分∠PCB，可得∠BCF=45°，进而得出CF∥x轴，则当y=-1时， 解得F 再根据直线CP为： 可得当

时，可得P

②根据直线CB： 直线PF： 可得CB∥PF，即可得到∠BCF=∠PFC=45°，故在直线CF上存在满足条件的点Q，再设Q 由题可得CF=6，CB= PF= 最后分两种情况进行讨论：当△PFQ1∽△BCF时，当△PFQ∽△FCB时，分别求得t的值，即可得出点Q的坐标为

（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（5， ）、点B（9，﹣10），

解得

∴抛物线对应的函数表达式为

（2）由抛物线可得，C（0，﹣1），B（9，﹣10），

∴直线BC为：y=﹣x﹣1，

设点P的坐标为（m，﹣m2+2m﹣1），则E（m，﹣m﹣1），

∴PE=﹣m2+2m﹣1﹣（﹣m﹣1）=﹣m2+3m，

∴四边形AECP的面积=△APE面积+△CPE面积

= ×（﹣m2+3m）×m+×（﹣m2+3m）×（5﹣m）

=（﹣m2+3m）

=﹣m2+m，

=﹣（m﹣）2+，

∴当m=时，﹣m2+2m﹣1=，

∴点P坐标为 ；

（3）①过点B作BH⊥y轴于H，

∵C（0，﹣1），B（9，﹣10），

∴CH=BH=9，

∴∠BCH=45°，

∵∠PCB=90°，CF平分∠PCB，

∴∠BCF=45°，

∴∠FCH=90°，即CF∥x轴，

当y=﹣1时，﹣1=﹣x2+2x﹣1，

解得x1=0，x2=6，

∴F（6，﹣1），

∵CP⊥CB，C（0，﹣1），

∴直线CP为：y=x﹣1，

当x﹣1=﹣x2+2x﹣1时，解得x1=0，x2=3，

当x=3时，y=2，

∴P（3，2）；

②∵直线CB：y=﹣x﹣1，直线PF：y=﹣x+5，

∴CB∥PF，

∴∠BCF=∠PFC=45°，

∴在直线CF上存在满足条件的点Q，

设Q（t，﹣1），

由题可得CF=6，CB=9，PF=3，

（ⅰ）如图所示，当△PFQ1∽△BCF时，

，即

解得t=4，

∴Q1

（ⅱ）如图所示，当△PFQ∽△FCB时，

，即

解得t=﹣3，

∴Q2（﹣3，﹣1）．

综上所述，点Q的坐标为（4，﹣1）或（﹣3，﹣1）．