Question

如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=﹣x+b交y轴于点A（0，4），交x轴于点B．

（1）求直线AB的表达式和点B的坐标；

（2）直线l垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线l上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为n．

①用含n的代数式表示△ABP的面积；

②当S_△ABP=8时，求点P的坐标；

③在②的条件下，以PB为斜边在第一象限作等腰直角△PBC，求点C的坐标．

Answer

（1）AB:y=-x+4，B(4，0)；（2）①S△ABP=2n-4，②P(2，6)，③C(6，4).

【解析】试题

（1）把点A（0，4）代入y=﹣x+b解得b的值，即可得到一次函数的解析式，由解析式即可求得点B的坐标；

（2）①由（1）中所求点B的坐标为（4，0）结合题意可知，直线PE为： ，由此可求得点D的坐标，从而可用含“n”的代数式表达出PD的长，由S△ABP=PD·OB即可用含“n”表达的面积；

②将S△ABP=8代入①中所求的表达式中，解方程即可求得“n”的值，从而可得此时点P的坐标；

③如下图，设点C1和C2是符合题意的点C，则由题意易得：四边形BC1PC2是正方形，过点C1作C1M⊥x轴于点M，过点P作PN存在MC1于点N，则四边形PEMN是矩形，△C1MB≌△PNC1；设BM= ，则C1M=MN-NC1= ；在Rt△PBE中，由勾股定理可求得：PB=；再在Rt△BMC1中，由BM2+C1M2=BC12，建立关于“”分方程，解方程求得“”的值，即可求得点C1的坐标；同理可求得点C2的坐标；最后结合点C在第一象限这一条件即可得到点C的坐标.

试题解析：

（1）∵直线AB：y=﹣x+b交y轴于点A（0，4），

∴b=4，

∴直线AB的表达式为：y=﹣x+4.

∵在y=﹣x+4中，当y=0时，x=4，

∴直线AB与x轴的交点B的坐标为（4，0）；

（2）①∵点B的坐标为（4，0），

∴OB=4，

∵直线l垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，

∴点D的横坐标为2，

∵在y=-x+4中，当x=2时，y=-2+4=2，

∴点D的坐标为（2，2）.

∵P是直线l上一动点，且在点D的上方，点P的纵坐标为n，

∴PD=n-2，

∴S△ABP=PD·OB=；

②当S△ABP=8时，由解得： ，

∴此时点P的坐标为（2，6）；

③如图，设点C1和C2是符合题意的点C，则由题意易得：四边形BC1PC2是正方形，过点C1作C1M⊥x轴于点M，过点P作PN存在MC1于点N，则四边形PEMN是矩形，△C1MB≌△PNC1，

∴MN=PE=6，NC1=BM，PN=C1M=BM+BE，

设BM= ，则C1M=MN-NC1= .

∵在Rt△PBE中，PE=6，BE=OB=2，

∴PB=，

又∵PB是等腰Rt△PC1B的斜边，

∴BC1=.

∵在Rt△BMC1中，BM2+C1M2=BC12，

∴，解得： ，

∵当时，PN=C1M=6-4=2