Question

如图，在 Rt△ABC 中∠C=90°，线段 AD 是线段 AB 绕 A 点按逆时针方向旋转 90°得到的，△EGF 由△ABC 沿 CB 方向平移得到的，且直线 EG 过点 D．

（1）求∠BDF 的大小；

（2）若 AB=10，∠BAC=30°，求 CF 的长．

Answer

（1）45°；（2）5+.

【解析】

(1) 由旋转得到AD=AB=10,∠ABD = 45, 由平移可得DF//AB, 即可求出∠BDF=∠ABD=45.

(2)首先通过AE∥FC，EG∥AC，又∠C=90°可得四边形 ACGE 是矩形, GC=AE，∠EAC=90°，

可证得∠DAE=∠BAC=30°，在 Rt△ADE 中，可得AE的长，又GC=AE，可得CF=CG+FG，可求得CF的长.

【解析】
（1）∵线段 AD 是线段 AB 绕点 A 旋转 90°所得，

∴△ABD 为等腰直角三角形，

∴∠ABD=45°，

由平移知 DF∥AB，

∴∠BDF=∠ABD=45°．

（2）由平移性质可得 AE∥FC，EG∥AC，又∠C=90°，

∴四边形 ACGE 是矩形，

∴GC=AE，∠EAC=90°，

∴∠BAC+∠EAB=90°，又∠DAE+∠EAB=90°，

∴∠DAE=∠BAC=30°，

由 DF∥AB 得，∠EDA+∠DAB=180°，

∴∠EDA=180°﹣90°=90°，

在 Rt△ADE 中，∵AD=10，∠DAE=30°，

∴AE= =，

∴CG=AE= ，

∵FG=BC=5，

∴CF=CG+FG=5+ ．