Question

设二次函数 y=ax2+bx﹣（a+b）（a，b 是常数，a≠0）．

（1）判断该二次函数图象与 x 轴的交点的个数，说明理由．

（2）若该二次函数图象经过 A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．

（3）若 a+b＜0，点 P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：a＞0．

Answer

（1）二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个（2）y=3x2﹣2x﹣1（3）a＞0

【解析】

（1）先判断，根据二次函数与轴交点个数与的关系得到交点的个数为个或2个.

（2）由于当时，所以C点不在该二次函数图象上;然后将A，B两点坐标分别代入二次函数解析式，得到方程组，然后求得和的值，即可求出二次函数解析式。

（3）将代入该二次函数解析式，得到 用减去消掉，再由，即可求得

（1）设y=0

∴0=ax2+bx﹣（a+b）

∵△=b2﹣4•a[﹣（a+b）]=b2+4ab+4a2=（2a+b）2≥0

∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根．

∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个

（2）当x=1时，y=a+b﹣（a+b）=0

∴抛物线不经过点C

把点A（﹣1，4），B（0，﹣1）分别代入得

解得

∴抛物线解析式为y=3x2﹣2x﹣1

（3）当x=2时

m=4a+2b﹣（a+b）=3a+b＞0①

∵a+b＜0

∴﹣a﹣b＞0②

①②相加得：

2a＞0

∴a＞0