Question

如图，已知抛物线y=﹣x+bx+c 与y轴相交于点 A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线 x=1

（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．

（2）动点M 从点 O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿 x 轴正方向运动，同时动点 N 从点O出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿y 轴正方向运动，当N点到达 A 点时，M、N同时停止运动．过动点 M 作 x 轴的垂线交线段 AB 于点Q，交抛物线于点 P，设运动的时间为 t 秒．

①当 t 为何值时，四边形 OMPN 为矩形．

②当 t＞0 时，△BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由．

Answer

（1）y=﹣x+2x+3，B点坐标为（3，0）；（2）①当t的值为1时，四边形OMPN为矩形；②当t的值为或时，△BOQ 为等腰三角形．

【解析】

(1)由对称轴公式可求得b,由A点坐标可求得C,则可求得抛物线解析式;再令y=0可求得B点坐标;

(2)①用t可表示出ON和OM,则可表示出P点坐标,即可表示出PM的长,由矩形的性质可得ON=PM,可得到关于的方程,可求得的值;②由题意可知OB=OA,故当△BOQ为等腰三角形时,只能有OB=BQ或OQ=BQ,用t可表示出Q点的坐标,则可表示出OQ和BQ的长,分别得到关于t的方程,可求得t的值.

（1）∵抛物线 y=﹣x+bx+c 对称轴是直线 x=1，

∴﹣=1，解得 b=2，

∵抛物线过 A（0，3），

∴c=3，

∴抛物线解析式为 y=﹣x+2x+3，

令 y=0 可得﹣x+2x+3=0，解得 x=﹣1 或 x=3，

∴B 点坐标为（3，0）；

（2）①由题意可知 ON=3t，OM=2t，

∵P 在抛物线上，

∴P（2t，﹣4t+4t+3），

∵四边形 OMPN 为矩形，

∴ON=PM，

∴3t=﹣4t+4t+3，解得 t=1 或 t=﹣（舍去），

∴当 t 的值为 1 时，四边形 OMPN 为矩形；

②∵A（0，3），B（3，0），

∴OA=OB=3，且可求得直线 AB 解析式为 y=﹣x+3，

∴当 t＞0 时，OQ≠OB，

∴当△BOQ 为等腰三角形时，有 OB=QB 或 OQ=BQ 两种情况， 由题意可知 OM=2t，

∴Q（2t，﹣2t+3），

∴OQ= =，BQ==|2t﹣3|， 又由题意可知 0＜t＜1，

当 OB=QB 时，则有|2t﹣3|=3，解得 t=（舍去）或 t=；

当 OQ=BQ 时，则有=|2t﹣3|，解得 t=；

综上可知当 t 的值为或 时，△BOQ 为等腰三角形．