Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²-4ax+3a-2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．

（1）①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a的代数式表示）．

（2）是否存在这样的非零实数a，使得AB=2？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

（3）当AB≤4时，求实数a的取值范围．

Answer

（1）①对称轴为直线；②顶点的纵坐标为；（2）这样的a值不存在；（3）a<-2或a≥．

【解析】

（1）根据求抛物线的对称轴和顶点坐标的公式可求出①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标；（2）假设存在这样的a的值，使得AB=2．求得A（1，0），B（3，0），这两点不在函数图象上，假设不成立；（3）根据对称性，A，B两点介于（0，0）与（4，0）之间（含这两点）．分两种情况①当a>0时，由题意，得，②当a<0时，由题意，得，可分别求出a的取值范围.

【解析】
（1）①对称轴为直线；

②顶点的纵坐标为．

（2）假设存在这样的a的值，使得AB=2．

由于抛物线的对称轴为直线，∴A（1，0），B（3，0）

当x=1或3时，ax2-4ax+3a-2=-2≠0，即点A或B均不在抛物线上，

∴这样的a值不存在．

（3）根据对称性，A，B两点介于（0，0）与（4，0）之间（含这两点）．

①当a>0时，由题意，得，解得a≥

②当a<0时，由题意，得，解得a<-2

综上，a<-2或a≥．