Question

如图，等腰△ABC内接于半径为5的⊙O，AB=AC，BC=8．

（1）如图1，连结OA．

①求证：OA⊥BC；

②求腰AB的长．

（2）如图2，点P是边BC上的动点（不与点B，C重合），∠APE=∠B=∠C，PE交AC于E．

①求线段CE的最大值；

②当AP=PC时，求BP的长．

Answer

（1）①证明见解析；②2；（2）①CE的最大值为；②BP=.

【解析】

（1）①由AB=AC，得，故OA⊥BC；②连结OB，设OA交BC于D．由垂径定理可得

BD=CD=BC=4．再利用勾股定理可得AB=．（2）先证△ABP∽△PCE，得．设BP=x，CE=y，则PC=8-x，可得，可得y=，可求出函数的最值；②证△APC∽△BAC，得，可得PC=，故BP=BC-PC.

【解析】
（1）①∵AB=AC，

∴，

∴OA⊥BC

②连结OB，设OA交BC于D．

∵OA⊥BC ，

∴BD=CD=BC=4．

∴OD==3，

∴AD=OA-OD=5-3=2，

∴AB=．

（2）①∵∠APE=∠B=∠C，

∴∠BAP+∠APB=∠APB+∠CPE，

∴∠BAP=∠CPE，

∴△ABP∽△PCE，

∴．

设BP=x，CE=y，则PC=8-x，

∴，

∴y=

∴当x=4时，ymax=，即CE的最大值为

②∵AP=PC，

∴∠PAC=∠C=∠B，

∴△APC∽△BAC，

∴，

∴，

∴PC=，

∴BP=BC-PC=