Question

如图，AC 平分∠BAD，过 C 点作 CE⊥AB 于 E，并且 2AE＝AB+AD，则下列结论:

①AB＝AD+2BE；②∠DAB+∠DCB＝180°；③CD＝CB；④S_△ABC＝S_△ACD+S_△BCE，其中不正确的结论个数有（    ）

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

Answer

B

【解析】

过C作CF⊥AD于F．先判定Rt△ACF≌Rt△ACE，即可得出BE＝DF，再判定△CDF≌△CBE，即可得到CD＝CB；再根据四边形内角和以及三角形的面积计算公式，即可得到正确结论．

如图，过C作CF⊥AD于F．

∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CF＝CE，∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），∴AF＝AE，∴AB+AD＝（AE+BE）+（AF﹣DF）＝2AE+BE﹣DF．

又∵AB+AD＝2AE，∴BE＝DF，∴AB﹣AD＝（AE+BE）﹣（AF﹣DF）＝BE+DF＝2BE，即AB＝AD+2BE，故①正确；

∵BE＝DF，∠CEB＝∠F＝90°，CF＝CE，∴△CDF≌△CBE（SAS），∴∠B＝∠CDF，CD＝CB，故③正确；

又∵∠ADC+∠CDF＝180°，∴∠ADC+∠B＝180°，∴四边形ABCD中，∠DAB+∠BCD＝360°﹣180°＝180°，故②正确；

∵AB＝AD+2BE，CE＝CF，∴由等式性质可得：AB×CEAD×CF+2BE×CE，即S△ABC＝S△ACD+2S△BCE，故④错误．

故选B．