Question

已知，在△ABC 中，∠A＝90°，AB＝AC，点 D 为 BC 的中点．

(1)点 E、F 分别为 AB、AC 上的中点，请按要求作出满足条件的△ABC 图形并证明：DE＝DF；

(2)如图①，若点 E、F 分别为 AB、AC 上的点，且 DE⊥DF，求证：BE＝AF；

(3)若点 E、F 分别为 AB、CA 延长线上的点，且 DE⊥DF，那么 BE＝AF 吗？请利用图②说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3） BE＝AF，见解析．

【解析】

（1）画图并证明△AED≌△AFD，可得DE＝DF；

（2）如图①，证明△BDE≌△ADF，可得BE＝AF；

（3）如图②，证明△EDB≌△FDA，可得BE＝AF．

（1）如图，连接AD．

∵∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点，∴∠EAD＝∠FAD．

∵点E、F分别为AB、AC上的中点，∴AEAB，AFAC．

在△AED和△AFD中，∵，∴△AED≌△AFD（SAS），∴DE＝DF；

（2）连接AD，如图①所示．

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∠B＝45°．

∵点D为BC的中点，∴ADBC＝BD，∠FAD＝45°．

∵∠BDE+∠EDA＝90°，∠EDA+∠ADF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF．

在△BDE和△ADF中，∵，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF；

（3）BE＝AF．证明如下：

连接AD，如图②所示．

∵∠ABD＝∠BAD＝45°，∴∠EBD＝∠FAD＝135°．

∵∠EDB+∠BDF＝90°，∠BDF+∠FDA＝90°，∴∠EDB＝∠FDA．

在△EDB和△FDA中，∵，∴△EDB≌△FDA（ASA），∴BE＝AF．