Question

已知，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线，点P在CD上，CP=．将三角板的直角顶点放置在点P处，绕着点P旋转，三角板的一条直角边与射线CB交于点E，另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G．

（1）如图，当点F在射线CA上时，

①求证：PF＝PE．

②设CF＝x，EG＝y，求y与x的函数解析式并写出函数的定义域．

（2）连接EF，当△CEF与△EGP相似时，求EG的长．

Answer

（1）①见解析，②（0≤x＜1）；（2）当△CEF与△EGP相似时，①当点F在射线CA上时，EG＝2，②当点F在AC延长线上时，EG＝2．

【解析】

（1）①过点P作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分别为M、N，由已知条件证明△PMF≌△PNE即可证明PF=PE；②利用①中的三角形全等和相似三角形的性质即可求出y与x的函数解析式，再写出其自变量的取值范围即可；

（2）当△CEF与△EGP相似时，点F的位置有两种情况：①当点F在射线CA上时，②当点F在AC延长线上时，分别讨论求出满足题意的EG长即可．

（1）①过点P作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分别为M、N，

∵CD是∠ACB的平分线，

∴PM＝PN，

由∠PMC＝∠MCN＝∠CNP＝90°，得∠MPN＝90°，

∴∠1+∠FPN＝90°，

∵∠2+∠FPN＝90°，

∴∠1＝∠2，

∴△PMF≌△PNE，

∴PF＝PE；

②∵CP＝，

∴CN＝CM＝1．

∵△PMF≌△PNE，

∴NE＝MF＝1﹣x．

∴CE＝2﹣x．

∵CF∥PN，

∴△GCF∽△GNP，

∴．

∴．

∴（0≤x＜1）．

（2）当△CEF与△EGP相似时，点F的位置有两种情况：

①当点F在射线CA上时，

∵∠GPE＝∠FCE＝90°，∠1≠∠PEG，

∴∠G＝∠1．

∴FG＝FE．

∴CG＝CE．

在Rt△EGP中，EG＝2CP＝2；

②当点F在AC延长线上时，

∵∠GPE＝∠FCE＝90°，∠1≠∠2，

∴∠3＝∠2，

∵∠1＝45°+∠5，∠1＝45°+∠2，

∴∠5＝∠2，

易证∠3＝∠4，可得∠5＝∠4，

∴FC＝CP＝，

∴FM＝1+，

易证△PMF≌△PNE，

可得EN＝1+，

∵CF∥PN，

∴，

∴GN＝﹣1．

∴EG＝2．