Question

等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝12，点M为BC中点，含45°的直角三角板的锐角顶点与M重合，当三角板绕点M旋转时，三角板与两直角边交于点P、Q．P、Q分别在AB、AC边上，设BP＝x，CQ＝y．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）写出x的取值范围．

Answer

（1）y＝；（2）0＜x≤6．

【解析】

（1）证明△BPM∽△CMQ，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解；
（2）首先求得AB的长度，则x的范围即可求得．

（1）∵M为BC中点，

∴BM＝CM＝BC＝×12＝6．

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠B＝∠C＝∠PMQ＝45°，

∵△BPM中，∠B+∠BPM+∠BMP＝180°，则∠BPM+∠BMP＝135°，

又∵∠BMP+∠PMQ+∠QMC＝180°，则∠BMP+∠QMC＝135°，

∴∠BPM＝∠QMC，

又∵∠B＝∠C，

∴△BPM∽△CMQ，

∴，即，

∴y＝；

（2）直角△ABC中，AB＝BC•sin45°＝12×＝6，

则0＜x≤6．