Question

如图，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1cm/s的速度在直线AM上运动；已知AC=6cm，设动点D，E的运动时间为ts．

​

（1）试求∠ACB的度数；

（2）若：=2：3，试求动点D，E的运动时间t的值；

（3）试问当动点D，E在运动过程中，是否存在某个时间t，使得△ADB≌△CEB？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由．

Answer

（1）45°．（2）当t=s时，满足S△ADB：S△BEC=2：3．（3）存在．当t=2s 或t=6s时，△ADB≌△CEB．

【解析】

（1）易求∠BAC=45°，根据BC⊥BA可得∠ABC=90°，即可解题；

（2）作BF⊥AM，BG⊥AC，则BF=BG，根据S△ABD：S△BEC的值可得AD：CE的值，分别用t表示AD，CE即可求得t的值，即可解题；

（3）易得AD=CE时，△ADB≌△BEC，分别用t表示AD，CE即可求得t的值，即可解题．

【解析】
（1）如图1中，

∵AM⊥AN，

∴∠MAN=90°，

∵AB平分∠MAN，

∴∠BAC=45°，

∵CB⊥AB，

∴∠ABC=90°，

∴∠ACB=45°．

（2）如图2中，

作BH⊥AC于H，BG⊥AM于G．

∵BA平分∠MAN，

∴BG=BH，

∵S△ADB：S△BEC=2：3，AD=t，AE=2t，

∴•t•BG：•（6-2t）•BH=2：3，

∴t=s．

∴当t=s时，满足S△ADB：S△BEC=2：3．

（3）存在．理由如下

①当点D在点A上方，且点E在点C左侧时，AD=t，EC=6-2t，

∵BA=BC，∠BAD=∠BCE=45°，

∴当AD=EC时，△ADB≌△CEB，

∴t=6-2t，

∴t=2s，

∴t=2s时，△ADB≌△CEB．

②当点D在点A下方，且点E在点C右侧时，AD=t，EC=2t-6，

∵BA=BC，∠BAD=∠BCE=135°，

∴当AD=EC时，△ADB≌△CEB，

∴t=2t-6，

∴t=6s，

∴t=6s时，△ADB≌△CEB．

∴综上所述：当t=2s 或t=6s时，△ADB≌△CEB．