Question

关于x的一元二次方程x²﹣2kx+k²﹣k=0的两个实数根分别是x₁、x₂，且x₁²+x₂²=4，则x₁²﹣x₁x₂+x₂²的值是_____．

Answer

4

【解析】

根据根与系数的关系结合x1+x2=x1•x2可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，从而可确定k的值．

∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，

∴x1+x2=2k，x1•x2=k2﹣k，

∵x12+x22=4，

∴（x1+x2）2-2x1x2=4，

（2k）2﹣2（k2﹣k）=4，

2k2+2k﹣4=0，

k2+k﹣2=0，

k=﹣2或1，

∵△=（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）≥0，

k≥0，

∴k=1，

∴x1•x2=k2﹣k=0，

∴x12﹣x1x2+x22=4﹣0=4，

故答案为：4．