Question

在直角坐标平面xOy中，二次函数y＝x²+2（m+2）x+m﹣2图象与y轴交于（0，﹣3）点．

（1）求该二次函数的解析式，并画出示意图；

（2）将该二次函数图象向左平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．

Answer

（1）y＝x2+2x﹣3；如图见解析；

（2）二次函数图象向左平移1个单位后经过坐标原点，平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0）．

【解析】

（1）把点（0，-3）代入二次函数y=x2+2（m+2）x+m-2中得到m-2=-3，求出m=-1，即可确定抛物线的解析式；把y=x2+2x-3配成顶点式为y=（x+1）2-4，此抛物线的对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1，-4），由此可画出抛物线的示意图；

（2）先令y=0，即x2+2x-3=0，解方程确定二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（-3，0）、（1，0），要把点（1，0）向左平移到原点，需移一个单位，则点（-3，0）要移到点（-4，0）的位置，即平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标为（-4，0）．

（1）由题意得m﹣2＝﹣3，

解得m＝﹣1，

故二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3；如图，

（2）令y＝0，即x2+2x﹣3＝0，解得 x1＝﹣3，x2＝1，

则二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（﹣3，0）、（1，0），

故二次函数图象向左平移1个单位后经过坐标原点，平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0）．