Question

如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB ；② ；③DF=DC； ④CF=2AF．其中正确的结论是________（填番号）．

Answer

①③④

【解析】

只要证明∠EAC=∠ACB, 即可判断①正误；由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，推出AE和CF的关系即可判断④正误；只要证明DM垂直平分CF，即可证明③；设AE=a，AB=b，则AD=2a，由△BAE∽△ADC,求出a和b的关系，可得tan∠CAD的值即可判断④的正误，于是得到四个结论中正确结论．

如图,过D作DM∥BE交AC于N，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC,

∵BE⊥AC于点F，

∴∠EAC=∠ACB,

∴△AEF∽△CAB，故①正确；

∵AD∥BC，

∴△AEF∽△CBF，

∴

∵

∴

∴CF=2AF，故④正确；

∵DE∥BM,BE∥DM，

∴四边形BMDE是平行四边形，

∴

∴BM=CM，

∴CN=NF，

∵BE⊥AC于点F,DM∥BE，

∴DN⊥CF，

∴DM垂直平分CF，

∴DF=DC，故③正确；

设AE=a，AB=b，则AD=2a，

由△BAE∽△ADC,有,即

∴ 故②不正确；

正确的有①③④，

故答案为：①③④.