Question

海上有一小岛，为了测量小岛两端A、B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图所示，已知B点是CD的中点，E是BA延长线上的一点，测得AE=8.3海里，DE=30海里，且DE⊥EC，cos∠D=．

（1）求小岛两端A、B的距离；

（2）过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，求sin∠BCF的值．

Answer

【解析】
（1）在Rt△CED中，∠CED=90°，DE=30海里，

∴。∴CE=40（海里），CD=50（海里）。

∵B点是CD的中点，∴BE=CD=25（海里）。

∴AB=BE﹣AE=25﹣8.3=16.7（海里）．

答：小岛两端A、B的距离为16.7海里。

（2）设BF=x海里，

在Rt△CFB中，∠CFB=90°，∴CF2=CB2﹣BF2=252﹣x2=625﹣x2。

在Rt△CFE中，∠CFE=90°，∴CF2+EF2=CE2，即625﹣x2+（25+x）2=1600。

解得x=7。

∴。

【解析】

试题（1）在Rt△CED中，利用三角函数求出CE，CD的长，根据中点的定义求得BE的长，AB=BE﹣AE即可求解。

（2）设BF=x海里．在Rt△CFB中，利用勾股定理求得CF2=CB2﹣BF2=252﹣x2=625﹣x2．在Rt△CFE中，列出关于x的方程，求得x的值，从而求得sin∠BCF的值。