Question

某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x²+2|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．

（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：

x	…	﹣3	﹣	﹣2	﹣1	0	1	2		3	…
y	…	﹣2	﹣	m	2	1	2	1	﹣	﹣2	…

其中，m＝　   　．

（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．

（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．

（4）进一步探究函数图象发现：

①方程﹣x²+2|x|+1＝0有　   　个实数根；

②关于x的方程﹣x²+2|x|+1＝a有4个实数根时，a的取值范围是　   　．

Answer

（1）1；（2）详见解析；（3）①函数的最大值是2，没有最小值；②当x＞1时，y随x的增大而减小；（4）①2；②1＜a＜2．

【解析】

（1）根据对称可得m=1；
（2）画出图形；
（3）①写函数的最大值和最小值问题；
②确定一个范围写增减性问题；
（4）①当y=0时，与x轴的交点有两个，则有2个实数根；
②当y=a时，有4个实根，就是有4个交点，确定其a的值即可．

【解析】
（1）由表格可知：图象的对称轴是y轴，

∴m＝1，

故答案为：1；

（2）如图所示；

（3）性质：①函数的最大值是2，没有最小值；

②当x＞1时，y随x的增大而减小；

（4）①由图象得：抛物线与x轴有两个交点

∴方程﹣x2+2|x|+1＝0有2个实数根；

故答案为：2；

②由图象可知：﹣x2+2|x|+1＝a有4个实数根时，

即y＝a时，与图象有4个交点，

所以a的取值范围是：1＜a＜2．

故答案为：1＜a＜2．